Задача 1:

p и q – различные простые числа. Сколько делителей у числа а) pq; б) p?q; в) p?q?; г) pnqm?


Решение:

Ответ: а) 4; б) 6; в) 9; г) (n + 1)(m + 1).



Задача 2:

Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.


Решение:

Указание: Среди этих трех чисел есть хотя бы одно четное число и одно число, делящееся на 3.



Задача 3:

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится а) на 30; б) на 120.


Решение:

Среди этих чисел есть число, кратное 3, есть число, кратное 5, и есть два четных числа, одно из которых делится на 4.



Задача 4:

p – простое число. Сколько существует натуральных чисел а) меньших p и взаимно простых с ним; б) меньших p? и взаимно простых с ним?


Решение:

Ответ: а) p – 1; б) p? – p.



Задача 5:

Каково наименьшее натуральное n, такое, что n! делится на 990?


Решение:

Поскольку 990 = 2 • 3? • 5 • 11, то n = 11.



Задача 6:

Может ли n! оканчиваться ровно на 5 нулей?


Решение:

Нет, поскольку 24! оканчивается на 4 нуля, а 25! – уже на 6 нулей.



Задача 7:

На сколько нулей оканчивается число 100! ?


Решение:

Это степень, в которой входит число 5 в разложение числа 100! на простые множители.



Задача 8:

Докажите, что число, имеющее нечетное число делителей, – точный квадрат.


Решение:

Указание: Если d – делитель n, то n/d – также делитель n.



Задача 9:

Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причем одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось АБ • ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся.


Решение:

Число слева не делится на 11, а справа – делится.



Задача 10:

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?


Решение:

Указание: Это число делится на 3, но не делится на 9.



Задача 11:

56a = 65b. Докажите, что a + b – составное число.


Решение:

65(a + b) = 65a + 65b = 65a + 56a = 121a. Так как 65 и 121 взаимно просты, то a + b делится на 121. Поскольку 121 = 11? – составное число, то и a + b – составное.



Задача 12:

Решите в натуральных числах уравнение а) x? – y? = 31; б) x? – y? = 303.


Решение:

Указание: x? – y? = (x – y)(x + y).

Ответ: а) x = 16, y = 15; б) x = 152, y = 151 или x = 52, y = 49.



Задача 13:

Решите в целых числах уравнение x? + x? + x – 3 = 0.


Решение:

x(x? + x + 1) = 3. Отсюда либо x = ± 1, либо x = ± 3.