В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD равна 1. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.

Решение:
Пусть M и N — середины сторон соответственно AB и CD четырёхугольника ABCD, а P и Q — середины его диагоналей соответственно AC и BD. Тогда MP — средняя линия треугольника ABC, а QN — средняя линия треугольника DBC. Поэтому MP=?BC=QN, MP||BC||QN

Значит, четырёхугольник MPNQ — параллелограмм. Его соседние стороны MP и MQ соответственно параллельны прямым BC и AD, поэтому MP перпендикулярно MQ. Следовательно, четырёхугольник MPNQ — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, поэтому PQ = MN = 1.

Ответ: 1.