Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда:

• концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина c=m/M;
• процентным содержанием данного вещества называется величина с?100%;

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c?M.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m₁ и m₂ и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с₁ и с₂. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c₁m₁+c₂m₂, а концентрация c=(c₁m₁+c₂m₂)/(m₁+m₂).
2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

Задача №1.

Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение.

Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54-х) литров кислоты. Значит в одном литре смеси содержится (54-x)/54литров кислоты. Всего за два раза вылили 54-24=30 литров кислоты. В результате получили уравнение: x+x(54-x)/54=30

 

Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: в первый раз было вылито 18 литров воды.

 

При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).

 

Задача №2.

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?

Решение.

1 способ

Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г  - масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение (рис. 6а):

0,5x+0,7y=0,65(x+y)

Получаем соотношение 1:3.

Ответ: 1:3.

 

Существует и другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим (или старинным) способом.

2 способ

Обоснуем старинный способ решения задач «на смеси».

Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить

с%-й раствор.

Пусть х г – масса а%-го раствора, y г – масса b%-го раствора, ax/100 г – масса чистой кислоты в первом растворе, а by/100  г – масса чистой кислоты во втором растворе, c(x+y)/100 г – масса чистой кислоты в смеси.

ax/100+by/100=c(x+y)/100

,

при упрощении которого станет ясно, что x:y=(b-c):(c-a).

 

Задача №3.

Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого  сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.

Решение.

Пусть х кг – количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нём находится 30 % цинка, то он содержит 400*30/100=120 кг, а во втором сплаве (120-y) кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух сплавах равно, следовательно, можно составить уравнение: 100y/150=100(120-y)/250

Из этого уравнения находим, что у=45. Поскольку первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг первого сплава олова будет   150*40/100=60 кг, а во втором сплаве олова будет (х-60) кг. Поскольку второй сплав содержит 26% меди, то во втором сплаве меди будет 250*26/100=65 кг. Во втором сплаве олова содержится (х-60) кг, цинка 120-45=75 (кг), меди 65 кг и, так как весь сплав весит 250 кг, то имеем:

х-60+75+65=250, откуда х=170 кг

Ответ: 170 кг.

 

Задача №4.

В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?

Решение.

Сначала составим таблицу, в которой напишем массу руды, массу железа, концентрацию (долю железа в рудеапишем массу руды, массу железа, концентрацию () руде?

нем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20) до и после удаления примесей.

	Масса руды, кг	Масса железа, кг	Концентрация (доля железа в руде)
Руда	500	х	x/500
Руда после удаления примесей	500-200=300	х-0,125?200=x-25	(x-25)/300

 

Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна x/500%.

Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125?200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна (x-25)/300.

По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=1/5. Составим уравнение:

(x-25)/300-1/5=x/500,

5(x-25)-300=3x

x=212,5

Найдём, что х=212,5 кг – масса железа в руде.

Найдём остаток железа в руде после удаления примесей:

212,5-25=187,5 (кг)

Ответ: 187,5 кг.

 

Мы решили вторую задачу путём составления таблицы, помогающей зрительно воспринимать задачу.

Вывод: задачи «на смеси и сплавы» решаются множеством способов, но в них всегда присутствует концентрация (доля содержания одного вещества в другом), и они всегда решаются путём составления уравнений.