Задачи «на работу» делятся на два вида: на производительность труда и на производительность различных механизмов (труб, насосов и т. д.). Такие задачи часто вычисляются по формуле:

А=P?t

где P – производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени;

t – время, необходимое для выполнения всей работы.

Пусть P?t=1 – взаимообратные величины, т. е. вся работа А=1, следовательно:

P=A/t=1/t         t=A/P=1/P

Решим задачу на производительность труда.

Задача №1.

Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий – 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа и третий – 5 часов, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?

Решение.

Решим эту задачу путём составления системы уравнений.

Пусть х – скорость выполнения работы первого каменщика, y – второго, z – третьего. Всю работу примем за 1. Составим систему уравнений по условию задачи:

6x+4y+7z=1    (1)

4x+2y+5z=2/3 (2)

Надо найти t=A/P, то есть 1/(x+y+z)

Умножим (2) на -2 и сложим почленно с (1). Получим:

x=1/6-3z/2

Затем умножим (2) на -1,5 и сложим почленно с (1). Получим:

y=0,5z

Следовательно, подставим в искомое выражение полученные значения для x, y, z 1/(x+y+z)=1/(1/6-3z/2+z/2+z)=1/(1/6)=6.

В итоге получим 6.

Ответ: каменщики выполнят эту работу за 6 часов.

Мы решили эту задачу путём составления систем уравнений.

Задачи «на работу» сложны тем, что в них абстрактное понятие «работа» приобретает различное конкретное содержание. В первой задаче работа выражалась в виде производительности труда каменщиков. В следующей задаче мы рассмотрим случай, в котором идёт речь о работе по наполнению бассейна.

 

Задача №2.

При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта?

Решение.

Пусть объём бассейна равен 1, тогда время его заполнения до ремонта первым насосом – x, а вторым – y часов. Следовательно, 1/x - производительность первого насоса до ремонта, а 1/y -  производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, то составим первое уравнение: 8(1/x+1/y)=1, т.е.   8/x+8/y=1.

1,2(1/x) - производительность первого насоса до ремонта, а 1,6(1/y) - производительность второго насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, то составим второе уравнение: 6(12/x+16/y)=1, т.е.   7,2/x+9,6/y=1.

Решив совместно эти два  уравнения , получаем : x=12, y=24.

Из найденных значений для x и y вычислим производительность первого насоса после ремонта: 1,2(1/x)=(1,2*1)/12=0,1

По формуле  t=A/P найдём время наполнения бассейна при работе только первого насоса после ремонта: 1/0,1=10 ч.

Ответ: 10 ч.

 

Вывод: в результате решения задач двух разных видов мы выяснили, что все задачи на работу решаются по одной общей формуле (А=P?t) и в большинстве случаев решаются путём составления систем уравнений.