Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

Решение.

Пусть a, a + d, a + 2d, a + 3d — искомая арифметическая прогрессия, b, bq, bq2, bq3 — искомая геометрическая прогрессия. По условию

a + b = 27,

a + d + bq = 27,

a + 2d + bq² = 39,

a + 3d + bq³ = 87.

Вычтем из второго уравнения первое, из третьего второе, из четвёртого третье:

d + b(q - 1) = 0,

d + bq(q - 1) = 12,

d + bq²(q - 1) = 48.

Из первого уравнения получаем b(q - 1) = - d; подставим это выражение во второе и третье уравнения:

d - dq = 12,

d - dq² = 48.

Поделив последнее уравнение на предпоследнее, получим q = 3. Следовательно, d = - 6, b = 3 и a = 24. Таким образом, искомые прогрессии — это
24, 18, 12, 6;

3, 9, 27, 81.