Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Докажите, что если каждая из трех пар биссектрис: внешних углов четырехугольника при вершинах A и C, внешних углов при вершинах B и D, а также внешних углов при вершинах Q и P (треугольников QAB и PBC соответственно) имеет точку пересечения, то эти три точки лежат на одной прямой.

Решение.

Сделать чертеж к задаче очень трудно (точки пересечения лежат далеко друг от друга), поэтому будем искать решение из общих соображений. Вспомним, что точки биссектрисы угла равноудалены от сторон этого угла.

Для каждой прямой, содержащей сторону четырехугольника ABCD, определим функцию f₁ — ориентированное расстояние до этой прямой: если точка лежит по ту же сторону от прямой, что и четырехугольник, то берем обычное расстояние, а если — по другую сторону, то расстояние со знаком минус. Эти четыре функции f₁, f₂, f₃, f₄ от координат точек являются линейными, т. е. записываются в виде f₁(x, y) = a₁x + b₁y + c₁.

Заметим, что точка лежит на биссектрисе внешнего угла четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма значений двух функций для сторон угла обращается в нуль.

Для каждой из точек пересечения биссектрис, о которых говорится в условии, получаем, что сумма всех четырех функций обращается в нуль.

Но сумма линейных функций является линейной функцией, а множество точек, на котором линейная функция, отличная от константы, принимает постоянное значение, есть прямая.

Сумма наших четырех функций не является тождественным нулем, поскольку внутри четырехугольника она положительна. Поэтому указанные точки пересечения биссектрис лежат на одной прямой.

Комментарии.

1. Зная идею решения с линейными функциями, можно сделать пространственное обобщение задачи.

2. Есть более простая задача на ту же идею: найти геометрическое место точек в треугольнике, для которых сумма расстояний до двух сторон равна расстоянию до третьей. (Точки пересечения биссектрис со сторонами треугольника удовлетворяют условию. Значит, и отрезки между ними тоже удовлетворяют.)

3. В школьной математике линейными функциями называют многочлены степени не выше первой. В линейной алгебре линейная функция — это многочлен степени не выше первой и без свободного члена. В этом смысле линейная функция от двух переменных имеет вид: f (x, y) = ax + by. Функции вида ax + by + c называются аффинными.