Представьте число 2005 в виде суммы положительных целых чисел таким образом, чтобы произведение слагаемых было максимальным.

Решение:

В этой сумме не должно быть единиц. Ведь 1 + a > 1 · a. В этой сумме не должно быть слагаемых, больших 4. Ведь если a > 4, то 2 (a – 2) = 2a – 4 > a. Что касается четвёрок, их можно нейтрально заменять на 4 = 2 + 2. Таким образом, надо раскладывать предложенное число на двойки и тройки. Двоек не должно быть больше двух, так как 2 + 2 + 2 = 3 + 3, но 2³ = 8, 3² = 9. Таким образом, если N делится на 3 без остатка, его следует представить в виде суммы троек. Если остаток равен 2, N = 2 + k · 3. Если остаток равен 1, N = 4 + k · 3 = 2 + 2 + k · 3. Поэтому 2005 = 4 + 667 · 3 = 2 + 2 + 667 · 3.