1.Точки пересечения биссектрис внутренних углов параллелограмма являются вершинами некоторого четырёхугольника. Докажите, что этот четырёхугольник — прямоугольник.

Решение:
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180^o. Следовательно, биссектрисы этих углов пересекаются под прямым углом. Это утверждение верно также для биссектрис внешних углов.

2. Докажите, что биссектрисы внешних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна сумме двух соседних сторон параллелограмма.

Решение:
Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке P, биссектрисы внешних углов при вершинах C и D — в точке Q, внешних углов при вершинах A и D — в точке R, внешних углов при вершинах A и B — в точке S. Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то PQRS — прямоугольник. Пусть M — середина BC. Тогда PM — медиана прямоугольного треугольника BPC, поэтому PM = MC. Значит,

где K — точка на продолжении стороны DC за точку C. Следовательно , PM || CD. Аналогично докажем, что если N — середина AD, то RN = ND и RN || CD. Кроме того , MN || CD и MN = CD. Следовательно, точки M и N лежат на диагонали PR прямоугольника PQRS и

PR = PM + MN + NR = MC + CD + ND = BC + CD.

3.Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, не являющегося ромбом, при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон параллелограмма.

Решение:
Пусть биссектрисы углов при вершинах B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, биссектрисы углов при вершинах C и D — в точке N, углов при вершинах A и D — в точке K, углов при вершинах A и B — в точке L. Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то MLKN — прямоугольник. Предположим, что AB > BC. Если луч BM пересекает прямую CD в точке T, то 

Значит, треугольник BCT — равнобедренный. Поэтому

CT = BC < AB = CD.
Следовательно, точка T лежит на стороне CD и

DT = CD - CT = AB - BC.
Поскольку CM — высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, то M — середина BT. Аналогично докажем, что если S — точка пересечения луча DK со стороной AB, то K — середина DS. Точки M и K — середины противоположных сторон параллелограмма BTDS. Следовательно,

MK = DT = AB - BC

Поскольку диагонали прямоугольника равны, то LN = MK = AB - BC.