Из точки вне окружности проведены касательные и секущая, причём точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что угол между касательными равен 60^o

Решение

Пусть S — данная точка, SBD — секущая, SA и SC — касательные, AB || DC. Обозначим AB = x, CD = y.

Из подобия треугольников SBC и SCD (по двум углам) следует, что BC/DC=SB/CS , а из подобия треугольников SBA и SAD — AB/AD=SB/SA . 

Поскольку CS = AS, то DC/BC=AD/AB , или AB ^. DC = xy = BC². Отсюда находим, что BC =?xy . Кроме того, 

o. 

Если P — проекция точки B на основание CD трапеции ABCD, то PC =(y-x)/2 . В треугольнике BPC имеем: 

PC = BC/2, или  (y-x)/2=?xy/2

Из этого уравнения находим, что

x/y=(3-? 5)/2

Ответ  x/y=(3-? 5)/2