Дана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, а при вершинах C и D — в точке Q. Докажите, что длина отрезка PQ равна полупериметру трапеции.



Решение

Биссектрисы внешних углов A и B трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. Поэтому треугольник APB — прямоугольный. 

Если M — середина AB, то PM = ? AB. Кроме того, поскольку треугольник AMP — равнобедренный, то

APM = PAM = KAP,

где K — точка на продолжении основания AD за вершину A. Следовательно, PM || AD. Аналогично докажем, что медиана QN прямоугольного треугольника DQC паралелльна AD и QN = ? CD. Поскольку MN — средняя линия трапеции ABCD, то MN || AD. Поэтому точки P, M, N и Q лежат на одной прямой. Следовательно,

PQ = PM + MN + NQ = ? AB + ?(BC+AD) + ? CD = ? (AB+BC+AD+CD).