Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что точки пересечения биссектрис каждого из треугольников ABO, BCO, CDO и DAO являются вершинами ромба.

Решение:
Пусть M, N, K и L — точки пересечения биссектрис треугольников ABO, BCO, CDO и DAO соответственно. Тогда прямые MK и NL проходят через точку O и MK NL.

Треугольники BOM и DOK равны по стороне (OB = OD) и двум прилежащим к ней углам, поэтому MO = OK. Аналогично NO = OL. Значит, MNKL — параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, т.е. ромб.