Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение.

t_общ = 9 ч время за которое Игорь и Паша красят забор.

Р_общ =  ¹/_х + ¹/_y,

Р_общ = ^{х + y}/_xy,

t_общ = ^xy / _{х + y} = 9  ,

xy – 9x – 9y = 0 – первое уравнение.

t_общ = 12 ч время за которое Паша и Володя  красят забор.

Р_общ =  ¹/_y + ¹/_z,

Р_общ = ^y + ^z/_yz,

t_общ = ^yz / _{y + z} = 12  ,

yz – 12y – 12z = 0 – второе уравнение

t_общ = 18 ч время за которое Володя и Игорь красят забор.

Р_общ =  ¹/_х + ¹/_z,

Р_общ = ^{х + z}/_xz,

t_общ = ^xz / _{х + z} = 18  ,

yz – 12y – 12z = 0 – третье уравнение.

Получилась система из трех уравнений

xy – 9x – 9y = 0, (1)

yz – 12y – 12z = 0, (2)

yz – 12y – 12z = 0. (3)

Выразим х из (1) x = ^9y/_y-9 и подставим в (3) и получим ^9yz/_y-9 – 12y – 12z = 0.

Выразим из этого уравнения z = (4y² – 36y)/(36 – y).

Выразим также z из (2) z = ^12y/_y-12.

Приравняв правые части получим (4y² – 36y)/(36 – y) = ^12y/_y-12.

4y³ – 72 y² = 0

y = 18 ,

z = 36,

x = 18,

P_общ = ¹/₁₈ + ¹/₃₆ + ¹/₁₈ = ⁵/₃₆,

t_общ = ³⁶/₅ = 7,2

Ответ. за 7,2 часа.