Периметр прямоугольника равен 56 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

I этап. Составление математической модели

Оптимизируемая величина (О.В.) – площадь, S. Площадь зависит от длины и ширины. Объявим независимой переменной (Н.П.) – длину прямоугольника и обозначим её за  х, (28-х) – ширина прямоугольника, тогда  0 < x < 28  -  реальные границы изменений независимой переменной. Записываем функцию: S(x) = x(28-x) Математическая модель составлена.

II этап. Работа с составленной моделью

На этом этапе для функции S(x) хЄ(0;28) надо найти Sнаиб. Воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значения:

S(x)=28-x²; S^|(x)=28-2x; S^|(x)=0; 2(14-x)=0; x=14

Заданному интервалу точка принадлежит. Свое наибольшее значение функция  S(x) = x(28-x)  достигает при х=14 и Sнаиб = 196.