Знакомство с параметром.

Параметром называется независимая переменная, значение которой в данной задаче считается фиксированным. Так, с параметрами мы встречаемся при введении некоторых понятий. Рассмотрим в качестве примеров следующие объекты:

· функция прямая пропорциональность; у = кх (х и у - переменные;

к — параметр, к 0);

· линейная функция: у = кх+b (х и у — переменные; к и b - параметры);

· линейное уравнение: ах + b = 0 (х — переменная; а и b - параметры);

· уравнение первой степени: ах + b = 0 (х — переменная; а и

b - параметры, а 0);

· квадратное уравнение: ax2 + bx + c = 0 (x — переменная; а,

b и с — параметры, а 0).

К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Рассмотрим ряд примеров.



1. Сравнить - а и 3а.

Решение, Естественно рассмотреть три случая:

если а 3а;

если а = 0, то - а = 3а;

если а > 0, то - а < 3а.



2. Решить уравнение ах = 1.

Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу

дать ответ: х = . Однако при а = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:

Ответ: Если а = 0, то нет решений; если а 0, то х = .



3. Решить уравнение (а2-1)х = а+1.

Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

1) а = 1; тогда уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений;

2) а = - 1; получаем 0x = 0, и очевидно х - любое.

3) а ± 1; имеем х = .

Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление

ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее мы считаем целесообразным привести

Ответ: Если а = - 1, то х - любое; если а = 1, то нет решений; если а ± 1, то х = .



4. Решить неравенство ах < 1.

Решение. Как и ранее, анализ трех возможностей а > 0, а = 0, а < 0 позволяет получить следующий

Ответ: Если а ; если а = 0, то х - любое; если а , то х < .



5. Решить неравенство |х + 3| > - а2.

Решение. Ясно, что при а 0 правая часть неравенства отрицательна, и тогда при любом х левая часть больше правой. В случае, когда а = 0, важно не упустить, что исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме х = - 3.

Ответ: Если а 0, то х - любое; если а = 0, то х - 3.



6. Решить уравнение |х2 - 1| + |a(x - 1)| = 0.

Решение. Это уравнение равносильно системе

|х2 - 1| = 0,

|а(х - 1)| = 0.

Имеем

х 2- 1 = 0,

а(х - 1) = 0.

При а 0 второе уравнение системы, а значит, и сама система, имеет единственное решение х = 1. Если же а = 0, то из второго уравнения получаем х - любое. Следовательно, в этом случае система имеет два решения: х = 1 или х = -1.

Ответ: Если а 0, то х = 1; если а = 0, то х = ± 1.



7. Решить уравнение = 0.

Решение. х = а - единственный корень. Понятно, что условие х 1 влечет за собой требование а 1.

Ответ: Если а 1, то х = а; если а = 1, то нет решений.

Выскажем два соображения по поводу роли параметра в приведенных примерах 1 -7. Во-первых, искомые значения х выступали в роли зависимой переменной, а параметр - независимой. Отсюда и возникло «расслоение» решения с учетом определенных значений параметра. Во-вторых, условие задач отводило параметру скромное место, - не ясно было, повлияет ли его присутствие на ход решения.

Дальнейшее знакомство с параметром поведем в несколько ином направлении.

Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество множества действительных чисел и др.

Обратимся к конкретным примерам.



8. При каких а неравенство (x - a)(x - 2) 0 имеет единственное решение?

Решение. Легко догадаться, что a = 2 удовлетворяет требованию задачи. Действительно, при a = 2 получаем неравенство (х - 2)2 0, имеющее единственное решение. Для случая, когда a 2, решением неравенства очевидно будет отрезок.

Ответ: а = 2.



9. При каких а решением неравенства (x - a)2(x - 2)(x + 3) 0 будет отрезок?

Решение. Так как (х - а)2 0, то данное неравенство равносильно совокупности

(х - 2)(х + 3) 0,

х = а.

Решением неравенства совокупности будет отрезок [-3; 2]. Следовательно, при a [-3; 2] решением совокупности также будет отрезок.

Ответ: -3 a 2.



10. При каких а уравнение ах2 – х + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Прежде всего обратим внимание на распространенную ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда а = 0. Итак, если а = 0, то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же a 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 - 12а принимает значение, равное нулю, при а = .

Ответ: а = 0 или а = .



11. При каких а уравнение (а - 2)х2 + (4 - 2а)х + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Понятно, что надо начинать со случая а = 2. Но при а = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если а 2, то данное

уравнение - квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра – это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а = 5. Поскольку мы установили, что а = 2 не подходит, то

Ответ: а = 5.