Свойство 1. Если y=g(x) – монотонно возрастает на промежутке I и y=f(x) – монотонно возрастает на промежутке I, то y=g(x)+f(x) – монотонно возрастает на промежутке I.

 

Свойство 2. Если y=f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, то уравнение f(x)=a имеет на I не более одного корня.

 

Свойство 3. Если y=f(x) возрастает на I, а y=g(x) убывает на I, то уравнение f(x)=g(x), имеет не более одного корня.

Определите промежутки возрастания (убывания) следующей функции:

Пример 1. Решите уравнение: x⁵+x³+2x-4=0.

 

Решение: Функция f(x)=x⁵+x³+2x-4 возрастает как сумма трех возрастающих функций y=x⁵, y=x³ и y=2x-4 на R.

 

Тогда уравнение f(x)=0 имеет не более одного корня. Испытывая делители свободного члена, находим, что x=1.

 

Ответ: 1.

 

Пример 2. Решите уравнение log₂(x+2)=1-x.

 

Решение: Функция y=log₂(x+2) – возрастает на x>-2. Функция y=1-x убывает на R. Тогда уравнение log₂(x+2)=1-x имеет единственное решение при x>-2

 

Непосредственно проверкой убедимся, что x=0 является корнем этого уравнения.

 

Ответ: 0.