Задача 1: 

Найдите остатки от деления

а) 1989 • 1990 • 1991 + 1992? на 7;

б) 9??? на 8.


Решение:

Ответ: а) 0; б) 1, так как 9 дает остаток 1 при делении на 8.



Задача 2: 

Докажите, что n? + 2n делится на 3 для любого натурального n.


Решение:

Число n может давать при делении на 3 один из трех остатков: 0, 1, 2. Рассмотрим три случая.

Если n дает остаток 0, то и n? и 2n делятся на 3 и поэтому n? + 2n также делится на 3.

Если n дает остаток 1, то n? дает остаток 1, 2n – остаток 2, а 1 + 2 делится на 3.

Если n дает остаток 2, то n? дает остаток 1, n? – остаток 2, 2n – остаток 1, а 2 + 1 делится на 3.

Требуемое доказано.



Задача 3: 

Докажите, что n5 + 4n делится на 5 при любом натуральном n.


Решение:

Указание: Переберите остатки от деления на 5.



Задача 4: 

Докажите, что n? + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.


Решение:

Переберите остатки от деления на 3.



Задача 5: 

Докажите, что n? + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.


Решение:

Переберите остатки от деления на 9.



Задача 6: 

Докажите, что n? – n делится на 24 при любом нечетном n.


Решение:

Указание: Докажите, что указанное число делится и на 3, и на 8.



Задача 7: 

а) Докажите, что p? – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.

б) Докажите, что p? – q? делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.


Решение:

Указание: Докажите, что указанные числа делятся и на 3 и на 8.



Задача 8: 

Натуральные числа x, y, z таковы, что x? + y? = z?. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.


Решение:

Если ни x, ни y не делятся на 3, то x? и y? дают остаток 1 от деления на 3. Таким образом, их сумма имеет остаток 2 от деления на 3. Но z? не может иметь такого остатка.



Задача 9: 

a и b – натуральные числа, причем число a? + b? делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.


Решение:

Проверьте, что и a и b делятся и на 3 и на 7.



Задача 10: 

a, b, c – натуральные числа, причем a + b + c делится на 6. Докажите, что a? + b? + c? тоже делится на 6.


Решение:

Проверьте, что числа x? и x имеют одинаковые остатки от деления на 6.



Задача 11: 

Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: p = p, q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.


Решение:

Если d – нечетно, то среди чисел p и q есть четное, что невозможно. Если d не делится на 3, то среди чисел p, q и r есть делящееся на 3, что тоже невозможно.



Задача 12: 

Докажите, что сумма квадратов трех натуральных чисел, уменьшенная на 7, не делится на 8.


Решение:

Выясните возможные остатки квадратов при делении на 8.



Задача 13: 

Сумма трех натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.


Решение:

Возможные остатки квадратов от деления на 9: 0, 1, 4, 7. Проверьте, что если сумма трех из них делится на 9, то среди них есть два одинаковых.



Задача 14: 

Найдите последнюю цифру числа 19891989.


Решение:

Заметим сначала, что последняя цифра числа 19891989 совпадает с последней цифрой числа 91989. Выпишем последние цифры нескольких начальных степеней числа 9: 9, 1, 9, 1, 9, ….

Так как при нахождении последней цифры очередной степени числа 9 достаточно умножить на 9 лишь последнюю цифру предыдущей степени, то ясно, что за 9 следует 1 (9 • 9 = 81), а за 1 – 9 (1 • 9 = 9).

Таким образом, нечетные степени девятки оканчиваются на 9. Поэтому последняя цифра числа 19891989 – девятка.



Задача 15: 

Найдите последнюю цифру числа 250.


Решение:

Выпишем последние цифры нескольких начальных степеней двойки: 2, 4, 8, 6, 2, …. Мы видим, что 25 так же, как и 2?, оканчивается на 2. Поскольку очередная цифра полностью определяется последней цифрой предыдущей степени, то произойдет «зацикливание»: 26 (как и 2?) оканчивается на 4, 27 (как и 2?) – на 8, 28 – на 6, 29 – на 2 и т.д. Поскольку длина цикла равна 4, то последняя цифра числа 250 определяется остатком от деления числа 50 на 4. Так как он равен 2, то последняя цифра числа 250 совпадает с последней цифрой числа 2?, то есть равна 4.



Задача 16: 

На какую цифру оканчивается число 777777?


Решение:

7



Задача 17: 

Найдите остаток от деления 2??? на 3.


Решение:

Выпишите остатки от деления на 3 нескольких начальных степеней двойки. Докажите, что здесь происходит «зацикливание».

Ответ: 1



Задача 18: 

Найдите остаток от деления 31989 на 7.


Решение:

6



Задача 19: 

Докажите, что 22225555 + 5555???? делится на 7.


Решение:

Вычислите остаток от деления этого числа на 7 и убедитесь, что он равен нулю.

Ответ: 3

Задача 20: 

а) p, p + 10, p + 14 – простые числа. Найдите p.

б) p, 2p + 1, 4p + 1 – простые числа. Найдите p.


Решение:

Рассмотрите остатки от деления на 3. Одно из этих чисел делится на 3. а) p = 3; б) p = 3.



Задача 21: 

p и 8p? + 1 – простые числа. Найдите p.


Решение:

p = 3



Задача 22: 

p и p? + 2 – простые числа. Докажите, что p? + 2 – также простое число.


Решение:

Докажите, что p = 3.



Задача23: 

Докажите, что не существует натуральных чисел a и b таких, что a? – 3b? = 8.


Решение:

Рассмотрите остатки по модулю 3.



Задача 24: 

а) Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?

б) Может ли сумма квадратов трех нечетных чисел быть квадратом целого числа?


Решение:

Проверьте, что остаток квадрата нечетного числа от деления на 4 равен 1, а остаток квадрата четного числа – 0.



Задача 25: 

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.


Решение:

Проверьте, что остаток квадрата нечетного числа от деления на 4 равен 1, а остаток квадрата четного числа – 0.



Задача 26: 

p, 4p? + 1 и 6p? + 1 – простые числа. Найдите p.

Ответ: p = 5. Рассмотрите остатки при делении на 5.



Задача 27: 

Докажите, что число 100 … 00500 … 001 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.


Решение:

Это число дает остаток 7 от деления на 9.



Задача 28: 

Докажите, что a? + b? + 4 не является кубом целого числа ни при каких натуральных a и b.


Решение:

Выясните, какой остаток может давать число a? + b? + 4 от деления на 9.



Задача 29: 

Докажите, что число 6n? + 3 не является шестой степенью целого числа ни при каком натуральном n.


Решение:

Выясните, какой остаток может давать число 6n? + 3 от деления на 7.



Задача 30: 

x, y, z – натуральные числа, причем x? + y? = z?. Докажите, что xy делится на 12.


Решение:

Если ни одно из чисел x, y не делится на 3, то z? дает остаток 2 при делении на 3, что невозможно. Заметьте теперь, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1, квадрат четного числа, не делящегося на 4, – остаток 4, квадрат числа, делящегося на 4, – остаток 0. Докажите, что либо x и y оба четны, либо среди них есть число, кратное 4.