Задача 1:

Существуют ли такие различные числа x, y, z из [0, ? /2], что шесть чисел sin x, sin y, sin z, cos x, cos y и cos z можно разбить на три двойки с равными суммами.



Задача 2:

В стране 2000 городов и полностью отсутствуют дороги. Докажите, что можно соединить дорогами некоторые города так, чтобы из двух городов выходило по одной дороге, из двух — по две дороги, из двух — по три, …, из двух — по 1000 дорог.



(Ф.Бахарев)

Задача 3:

Точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. На средних линиях C1B1 и A1B1 отмечены точки E и F так, что прямая BE содержит биссектрису угла AEB1, а пряма BF — биссектрису угла CFB1. Докажите, что углы BAE и BCF равны.



(Ф.Бахарев)

Задача 4:

Для любых натуральных чисел n > m докажите неравенство


где [x,y] — наименьшее общее кратное чисел x и y.



(А.Голованов)

Задача 5:

Точка I — центр окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, а точка H — ортоцентр этого треугольника. Точка M — середина меньшей дуги AC описанной окружности треугольника ABC. Оказалось, что MI = MH. Найдите угол ? ABC.



(Ф.Бахарев)

Задача 6:

Найдите все такие функции , что для любых целых x и y выполняется соотношение f(x + y + f(y)) = f(x) + 2y.



(Ф.Петров)

Задача 7:

Из таблицы 20 ? 20 вырезали прямоугольники 1 ? 20, 1 ? 19, …, 1 ? 1. Докажите, что наибольшее количество прямоугольников 1 ? 2, которое заведомо можно вырезать из оставшейс части таблицы равно 85.