Задача 1:

Все клетки доски 10 ? 10 покрашены в белый цвет. Федя и Юра по очереди (начинает Федя) перекрашивают по одной белой клетке в черный цвет. Проигрывает тот, после чьего хода на доске не останетс двух соседних по стороне белых клеток. Кто выигрывает при правильной игре?



(А.Храбров)

Задача 2:

Назовем квадратный трехчлен хорошим, если он имеет два различных вещественных корня, а его коэффициенты — попарно различные числа. Существуют ли 10 таких положительных чисел, что найдутся 500 хороших квадратных трехчленов, все коэффициенты которых содержатся среди этих чисел?



(Ф.Петров)

Задача 3:

В выпуклом пятиугольнике ABCDE AB = BC, CD = DE и ? A = ? C = ? E < 90°. Докажите, что этот пятиугольник — описанный.



(Ф.Бахарев)

Задача 4:

a, b и c — натуральные числа, для которых (a? – 1,b? – 1,c? – 1) = 1. Докажите, что (ab + c,bc + a,ca + b) = (a,b,c). (Как обычно, (x,y,z) обозначает наибольший общий делитель чисел x, y и z.)



(А.Голованов)

Задача 5:

Точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. На средних линиях C1B1 и A1B1 отмечены точки E и F соответственно так, что прямая BE содержит биссектрису угла AEB1, а прямая BF — биссектрису угла CFB1. Докажите, что биссектрисы углов ABC и FBE совпадают.



(Ф.Бахарев)

Задача 6:

Решите в натуральных числах уравнение km + mn = kn + 1.



(В.Франк)

Задача 7:

В международной олимпиаде участвует 300 школьников. Каждый школьник разговаривает ровно на двух из шести официальных языков олимпиады, а каждым языком владеет ровно сто школьников (известно, что школьники разговаривают только на официальных языках). Докажите, что организаторы могут так рассадить участников за круглым столом, чтобы никакие два соседа не говорили на одном языке.