Точку внутри квадрата соединили с вершинами — получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15°. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный.

Решение
Обозначим наш квадрат ABCD, а данную внутри него точку M. Пусть ? MDC = ? MCD = 15°. Решим обратную задачу. Построим на стороне AB квадрата равносторонний треугольник ABN так, чтобы вершина N лежала внутри квадрата (см. рис.). Тогда треугольник CNB равнобедренный с вершиной B. Его угол при вершине равен 30°, следовательно, угол при основании равен (180° – 30°)/2 = 75°. Отсюда находим ? DCN = 90° – 75° = 15°. Аналогично получаем ? CDN = 15°. По условию ? DCM = ? CDM = 15°. Значит, точка N лежит на луче CM и на луче DM, тем самым, совпадает с M.