В параллелограмме ABCD точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Могут ли лучи AM и AN делить угол BAD на три равные части?

Решение:
Предположим, что это возможно. Пусть <  BAM= < MAN = < DAN , лучи AM и AN пересекают диагональ BD в точках K и L соответственно, а O – центр параллелограмма. Поскольку K – точка пересечения медиан треугольника ABC , то 
BK = 2/3 BO =2/3· ? BD =1/3 BD. 

Аналогично докажем, что DL =1/3BD . Значит, BK=KL=DL . В треугольнике ABL медиана AK является биссектрисой, поэтому треугольник ABL – равнобедренный. Тогда AK – его высота. Аналогично докажем, что AL – высота треугольника AKD . Таким образом AK перпендикулярно  BD и ALперпендикулярно  BD , т.е. из точки A на прямую BD опущено два различных перпендикуляра, что невозможно.