Точки K и L лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC , причём KB=LC . Точка X симметрична точке K относительно середины стороны AC , а точка Y симметрична точке L относительно середины стороны AB . Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла A , делит отрезок XY пополам.
Решение

На стороне AC отложим отрезок AL₁ , равный LC , а на стороне AB – отрезок AK₁ , равный KB . Тогда середина M стороны AC совпадает с серединой отрезка LL₁ , а середина N стороны AB – с серединой отрезка KK₁ . Поскольку точки K и X симметричны относительно точки M – середины отрезка LL₁ , четырёхугольник KLXL₁ – параллелограмм, поэтому XL₁=KL и XL₁ || KL . Аналогично докажем, что YK₁= KL и YK₁ || KL . Таким образом, XL₁=YK₁ и XL₁ || YK₁ . Значит, если точки X , L₁ , K₁ и Y не лежат на одной прямой, то четырёхугольник XL₁YK₁ – также параллелограмм. Его диагонали L₁K₁ и XY делятся их точкой пересечения P пополам, а т.к. треугольник L₁AK₁ – равнобедренный, то его биссектриса, проведённая из вершины A , проходит через точку P – середину отрезка XY . Если точки X , L₁ , K₁ и Y лежат на одной прямой, утверждение очевидно.