На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN — параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.


Решение:
Треугольник AML равен треугольнику CKN, а треугольник BMN -- треугольнику DKL (по двум сторонам и углу между ними), поэтому ML = KN и MN = KL. Следовательно, MNKL — параллелограмм. 

Пусть O — точка пересечения AC и NL. Тогда треугольники AOL и CON равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, O — середина каждого из отрезков AC и NL. Следовательно, O — центр каждого из параллелограммов KLMN и ABCD.