На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Решение:

Из условия задачи следует, что AB = DC и AD = BC. Поэтому ABCD — параллелограмм. Тогда < A = < C и < D = < B. Из равенства треугольников MAQ и PCN (по двум сторонам и углу между ними) следует, что MQ = PN. Аналогично MN = PQ. Следовательно, MNPQ — параллелограмм.