Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии,— параллелограмм.

Решение:
Пусть O — центр симметрии четырёхугольника ABCD. Поскольку при движении прямая переходит в прямую, то точка пересечения двух прямых переходит в точку пересечения их образов. Следовательно, вершина четырёхугольника переходит в вершину. 

Предположим, что вершина A переходит в соседнюю вершину B. Тогда центр O симметрии — середина отрезка AB, а т.к. при этом вершины C и D — симметричны относительно точки O, то отрезки AB и CD пересекаются, что невозможно.

Таким образом, вершина A переходит в вершину C, а вершина B — в D. Тогда диагонали AC и BD четырёхугольника пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.