Четырёхугольник имеет ровно две оси симметрии. Верно ли, что он — либо прямоугольник, либо ромб?



Решение:
Если фигура имеет ровно две оси симметрии, то они взаимно перпендикулярны. Действительно, пусть l₁ и l₂ — оси симметрии фигуры. Предположим, что они не перпендикулярны. Тогда прямая, симметричная l₂ относительно l₁, — также ось симметрии, не совпадающая ни с l₁, ни с l₂. Получили противоречие.

Докажем теперь, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то она имеет центр симметрии. Примем оси симметрии за оси координат OX и OY. Тогда, если точка (x;y) принадлежит фигуре, то ей также принадлежат точки (- x;y) (симметрия относительно оси OY) и (- x; - y) (симметрия относительно OX). Значит, точка (- x; - y), симметричная точке (x;y) относительно начала координат, принадлежит фигуре. Следовательно, фигура симметрична относительно начала координат.

Четырёхугольник, имеющий центр симметрии, — параллелограмм. Его оси симметрии взаимно перпендикулярны и являются либо диагоналями, либо серединными перпендикулярами к сторонам. Следовательно, четырёхугольник является либо ромбом, либо прямоугольником.

Ответ: Верно.