В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Найдите площадь квадрата.

Решение:
Пусть вершины M и N квадрата MNKL находятся соответственно на катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC, а вершины K и L — на гипотенузе AB. При этом AL = m, BK = n.

Через точку N проведём прямую, паралелльную AC, до пересечения с гипотенузой AB в точке P. Из равенства прямоугольных треугольников AML и PNK следует, что PK = AL = m. Сторона NK указанного квадрата есть высота прямоугольного треугольника PNB, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому

NK² = PK ^. BK = mn.
Следовательно, площадь квадрата MNLK равна mn.

Источник: Рыбкин N25