В кубе A..D1 найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью АВС1.

Проведем диагональ В1С. Так как в квадрате диагонали перпендикулярны, то В1С?ВС1. Кроме того, В1С?АВ (теорема о трех перпендикулярах), а поэтому В1С - перпендикуляр к плоскости АВС1 (данное обоснование совпадает с приведенным в пособии).
Пусть В1С пересекает ВС1 в точке О. Тогда АО - проекция АВ1 на плоскость АВС1. Поскольку угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость, то углом между прямой АВ1 и плоскостью АВС1 является угол В1AО.
sin?В1AО=В1О/АВ1=1/2
Откуда ?В1AО =30°.